Chryzode
Un voyage en images dans la science des nombres (arithmétique)
A pictorial travel into arithmetic

D-1- De nouveaux modèles pour représenter un ensemble de neurones en interaction.

Parmi les obstacles rencontrés par l'expérimentateur lors de sa recherche, reconnaissons au moins 3 aspects essentiels qu'il va nous falloir recomposer comme les pièces d'un puzzle.

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1) - Extrême densité du système neuronal   D'abord il nous faut gérer et modéliser une partie de l'incroyable quantité de neurones présents dans le cerveau, 40 milliards à la naissance, environ 10 à 14 milliards dans la vie adulte. D'autant que chaque neurone dispose de milliers d'interconnexions avec d'autres neurones.   2)- Emboîtement et superposition du traitement  Ensuite, la superposition anatomique des couches de neurones du corps genouillé (neurones provenant alternativement de l'oeil droit puis de l'oeil gauche) et aussi du cortex (les six couches de résolutions différentes) nous invite à considérer la technique du " mille-feuille " comme un autre principe de base du système cognitif.  Ceci nous fait prendre en compte dans la superposition et l'imbrication des divers niveaux de traitement, le parcours des informations, un peu comme des vagues d'ondes escaladant différents niveaux.

3)- Discrétisation de l'information
Enfin nous devons schématiser plus efficacement la "discrétisation" du passage de l'information. Lorsque l'information transite par les synapses, il se crée momentanément une sorte de réseau dense formé par tous les points d'intersection entre les neurones.

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D-2- Réseau circulaire

Par exemple pour illustrer les interactions possibles entre un ensemble de 9 éléments, nous utiliserons un cercle sur lequel nous déterminerons 9 points équidistants placés sur la circonférence. Nous disons que son module est 9.  Nous relions ensuite chacun des neuf points avec tous les autres éléments. Les interactions possibles entre chaque élément sont alors schématisées par des vecteurs reliant les points correspondants.   En accordant à chacun de ces points une valeur numérique, nous nous offrons la possibilité de réaliser une bijection de l'ensemble des réels sur la circonférence.

ex. 1

Cette particularité arithmétique, nous permet d'étudier le modèle à partir des lois régissant le domaine des nombres. La voie est tentante, car de la mécanique quantique à la perception des harmoniques d'un violon, les propriétés arithmétiques jouent un rôle fondamental.

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D-3- Superpositions des polygones étoilés de différents modules

Maintenant en une deuxième étape nous allons superposer dans une même figure des modules disposant d'un nombre croissant d'éléments, soit la suite des entiers 2, 3, 4, etc.

Ainsi, sur le cercle, pour représenter le nombre 2, nous déterminons un point origine, puis nous plaçons un deuxième point que nous relions par un trait au point origine.

Pour représenter le nombre 3, on place 3 points équidistants. On relie ces 3 points et on obtient un triangle. Bien sûr, il est utile de garder la même origine, tout comme le zéro sert bien de point de départ pour étudier l'échelle des nombres. Pour le nombre 4, on place 4 points qui, lorsqu'ils sont reliés, dessinent un carré plus une croix, etc.  La figure ainsi obtenue est représentée ci-contre.

ex. 2

Pourquoi ne pas poursuivre ce procédé au delà de 4 points ? Curieux comme un chercheur peut l'être, nous avons persévéré et superposé sur notre graphe l'ensemble des polygones étoilés dans une circonférence partagée en 4 points, 5 points, puis 6, 7 points, comme dans l'exemple 3 ci-contre.

ex. 3

Ci-contre, nous avons ensuite représenté les entiers jusqu'au nombre 14. Autrement dit, nous avons réalisé la superposition de tous les polygones étoilés dans des cercles partagés de 2 à 14 points.   Très rapidement, nous découvrons ici un nouveau type de représentation.

ex.4

De façon plus drastique, nous constatons que la superposition des réseaux met en évidence une série d'enveloppes hypocycloïdiques (internes au cercle). En prolongeant les lignes hors du cercle, nous aurions également observé la présence de courbes épicycloïdiques (externes au cercles).
Remarquons encore que ce type de structure ne semble pas fractal a priori (au sens strict) car si on agrandit le graphe, on découvre toujours des emboîtements de droites et de caustiques, mais on ne retrouve pas la structure de départ.

ex.5

L'instrument permet de réaliser et de découvrir d'innombrables figures inédites à ce jour. Aussi, l'équipe de recherche avec laquelle je travaille sur le sujet propose que l'on qualifie ces graphes du nom de Chryzode (1987). Ce mot "chryzode" est déduit de "chryzos" (écriture en or) et de "zooïde" (cercle). Il signifierait une écriture en or sur un cercle. Pour nous, il désigne la grande famille de formes issues de la représentation des nombres au moyen de vecteurs (et d'intersections de ces vecteurs) inscrits sur une circonférence graduée.

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D-4- Première étape : L'ECHAFAUDAGE

Revenons à notre dernier exemple pour constater que l'extrême enchevêtrement du réseau suggère une articulation sous-jacente. Pour cet effet, l'application des suites arithmétiques au système en fait émerger comme un espèce d'alphabet de base. Son maniement permet de découvrir un monde foisonnant à peine exploré. Il nous renseigne aussi sur les structures, les résonances, les harmonies et les harmoniques des systèmes ondulatoires.

Discernons y pour commencer au moins deux étapes fondamentales : l'échafaudage et les points d'intersections.
Pour réaliser l'échafaudage, nous plaçons sur la circonférence d'un cercle "m" points équidistants (m représente un nombre). Ensuite, nous relions ces points par des lignes (vecteurs) en correspondance avec une opération arithmétique.
 

Multiplication par 2 dans le nombre 19

Exemple :
Multiplication par 2 dans le nombre 19 : c'est la représentation géométrique dans un cercle divisé en m parties égales d'une suite de nombres définis par une progression multiplicative (en progression géométrique).

Nous appelons ce nombre m "cercle-module m" ou "référentiel circulaire de valeur m". plus simplement nous dirons qu'il représente le modulo m. Dans l'exemple ci-dessous nous avons m= 19.

Pour dessiner cette suite des doubles, nous nous aidons d'une circonférence sur laquelle nous avons au préalable défini m points équidistants numérotés de 1 à m.
Deux représentations peuvent être utilisées :
- soit sur le cercle nous relions chaque élément à son double,
- soit nous relions les points de la circonférence par des segments de droite selon l'ordre des termes de la suite.
La progression des doubles théoriquement infinie sera ici évidemment limitée par le nombre m. Aussi, chaque fois que la valeur d'un terme de la suite est supérieure à la valeur de m, on retranche autant de fois que nécessaire la valeur de m à celle du terme de la suite. (On ne compte pas différemment les heures où la 26 ème heure équivaut à 2 heures: sur une horloge en 24 éléments nous avons compté 26 - 24 = 2 heures.). En mathématique on dit que les termes de la suite sont congrus au module m.
 

En analysant un peu plus le processus nous remarquons qu'à partir du 18ème terme la suite est devenue périodique et nous nous retrouvons au point de départ.
En parcourant ce circuit dans le sens inverse (1, 10, 5, 12, etc.) nous remarquons qu'il correspond à la suite des multiples de 10 congrue au module 19. Autrement dit, nous observons que congrue au module 19, la suite des multiplications par 2 se transforme dans la suite des multiplications par 10.

En arithmétique nous disons que 2 est l'inverse de 10 dans le module 19.
Soit 2 * 10 = 1 modulo 19, c'est ici une expression du théorème de Fermat
( si n est premier, n^(m-1)=1 et n^m-2=1/n ).

Dans une extrapolation musicale, l'on dirait que par le nombre 19, les harmonies de 2 se transforment en harmonies de 10. Sous cet angle de vue, les chryzodes paraîtraient être comme une représentation, une image de cette transformation ou harmonisation verse-inverse.

Multiplication par 3 dans le nombre 19
 

Autre exemple :  Etudions la suite des triples, soit : 1, 3, 9, 27, 81, etc.   Congrue au nombre 19, cette progression des triples se transforme en une suite périodique de 18 termes: 1, 3, 9, 8, 5, 15, 7, 2, 6, 18, 16, 10, 11, 14, 4, 12, 17, 13, 1, 3, etc.  Ici, l'inverse des puissances de 3, ce sont les puissances de 13  soit : 3 * 13 = 1 modulo 19. Comme précédemment, sur le cercle nous traçons une ligne qui va du point 1 au point 3, puis une autre du point 3 au point 9, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les termes de la suite soit reliés entre eux.

ex.7

Multiplication par 3 dans le nombre 211 En utilisant un cercle gradué avec un plus grand nombre d'éléments nous obtenons une meilleure définition graphique de la structure présente.   Ci-contre, nous avons représenté la suite des triples dans le nombre 211.  3 * 142 = 1 MOD. 211

ex.8

On constate alors que pour la multiplication par 3, les droites sont toutes tangentes à une autre courbe cycloïdale. Celle-ci en forme de huit est appelée "néphroïde".
En fait, chaque progression multiplicative génère dans le chryzode un nombre de points d'inflexion inférieur d'une unité à la valeur de la progression. Toutefois le cas est différent lorsque la valeur de la suite tend vers la valeur du nombre. Ainsi dans la suite des multiples de 209 congrue au nombre 211, la forme sera épicycloidique, ce sera un astroïde à trois rebroussements extérieurs.

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D-5- Deuxième étape : LES POINTS D'INTERSECTION

Quand nous représentons de grandes séries de nombres, le graphe en ligne se surcharge et n'est plus guère exploitable. D'autre part, si nous voulons illustrer le discontinu, l'aspect corpusculaire du système, il est astucieux de faire apparaître uniquement les points d'intersection des vecteurs du chryzode en lignes et ceci grâce à l'ordinateur.

Multiplication par 3 dans le nombre 2701 Dans l'exemple 9 ci-contre nous avons représenté les points d'intersection des vecteurs issus de la suite des triples dans le nombre 2701. L'on y remarque aisément au niveau de la diffusion des points sur le graphe, des courbes en forme de cols, de moirages, etc .  Très vite, nous faisons de multiples découvertes et le chryzode en point d'intersection prend un relief inédit tant par son aspect esthétique que par les propriétés qu'il permet de mettre en évidence.

ex.9

D-6- Superposition harmonique de réseaux

En poursuivant nos investigations nous constatons que les détails des formes issues de la multiplication par 3 dépendent de la valeur des nombres dans lesquels on la représente.

Multiplication par 3 dans les nombres multiples de 7 Par exemple, (ci-contre) nous superposons les chryzodes issus des multiplications par 3 dans des nombres multiples de 7 ( m = 7, 14, 21, 28, 35, etc.).  Nous observons ainsi l'émergence de sortes de faisceaux de synchronisation. Le nombre de faisceaux est proportionnel au pas de la suite (ici 7). On pourrait dire ici que l'on y parcourt les harmonies de 3 à la vitesse 7.  Il est assez vraisemblable de considérer que les faisceaux qui apparaissent se rapportent aux harmoniques du système vibratoire. (harmoniques = fréquences multiples d'une fréquence fondamentale ex 7, 14, 21, etc.)

ex.10

Multiplication par 3 dans le nombre 7 Notons aussi les coïncidences entre les principaux faisceaux du chryzode en points de l'exemple 10, avec les lignes du chryzode en ligne de la multiplication par 3 dans le nombre 7, soit la suite 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1 (ci-contre). Cette synchronisation s'explique par le fait que le chryzode de la multiplication de 3 dans le nombre 7 est présent dans tous les chryzodes élémentaires superposés.  Sous cet angle de vue, les chryzodes en lignes sont comparables à un résumé, un graphe générique, du chryzode représentant les réseaux d'harmoniques.  3 * 5 = 1 MOD. 7

ex.11

Agrandissement  de la multiplication par 3 dans les nombres multiples de 7 En agrandissant une partie de l'exemple 10 nous observons une sorte de système d'imbrication liant les différents faisceaux entre eux. Exemple. 12 : agrandissement d'une portion de l'ex. 10.

ex.12

D-7-1-Des faisceaux de synchronisation au niveau des molécules

Dans le cadre d'une approche cognitive, la découverte et la modélisation de faisceaux de synchronisation par superposition de réseaux méritent toute notre attention. En effet, nous avons là comme un pont pour mieux comprendre les propriétés des réseaux d'interconnexions du cerveau.

En effet, le gain graphique qu'offre le modèle n'est pas à dénigrer, car on retrouve des faisceaux de synchronisation quasi identiques à ceux de notre modèle dans d'autres cas de superpositions de réseaux, tels ceux obtenus par la radio-cristallographie de certaines protéines (Figures de Laue, voir appendice D-a-1).  Ci-contre: radio-cristallographie de la protéine de Rubisco.

ex.13

D-7-2. Corrélations entre chryzode et Rubisco Les corrélations possibles entre les deux systèmes nous ont incité à chercher si, au moyen du système des chryzodes, nous arrivions à obtenir une figure approchant celle que l'on obtient en radio-cristallographie.   Ci-contre, un des résultats. Notons que, pour ce faire, nous avons dû assigner à chaque point les règles d'une inversion homologique.

ex.14

D-8- Le faisceau de synchronisation envisagé comme brique d'une gestion cognitive et comportementale

En règle générale, avec le système des chryzodes, nous retrouvons les faisceaux de synchronisation dans toutes les superpositions harmoniques de réseaux de points.

L'apparition de ces faisceaux dans les chryzodes et dans les radio-cristallographies met la puce à l'oreille. D'autant que notre perception du visible ne nous a pas habitués à un tel type de structure alors qu'ils apparaissent assez rapidement dans la superposition de réseaux de points (voir appendice 3). Probablement que s'ils ne sont pas visibles directement à l'oeil nu, c'est que notre perception visible ne couvre qu'une gamme de fréquence (du rouge à l'ultra-violet, il n'y a qu'une multiplication par 2). Or, l'émergence des faisceaux est liée à une croissance harmonique des fréquences (ex: 2, , 8, 16, etc.).
Cependant, nous savons que le cortex auditif sait analyser les harmoniques. La présence et la répartition des cellules à sensibilité croissante dans les conduits auditifs internes nous prouvent que les neurones sont capables d'une analyse quantitative, qualitative et harmonique. D'autre part, n'oublions pas qu'une partie du cortex servant à l'analyse des harmoniques des sons peut, chez le sourd, être apparentée à d'autres phénomènes cognitifs. 
Quoiqu'il en soit, forcé à des méthodes déductives, il est intéressant d'envisager une sorte de corrélation entre les deux phénomènes, c'est à dire, d'une part, la superposition des réfractions cristallographiques, et d'autre part, la modélisation au moyen de points d'intersection de vecteurs issus d'une superposition de réseaux.A ce stade nous devons considérer que nous avons obtenu un outil qui rassemble en un seul schème des solutions pour les trois problématiques du départ.

A savoir :
- L'extrême densité du système neuronal : celle-ci est résolue par le fait que nous ne sommes pas limités dans la quantité des éléments à prendre en compte sur la circonférence. L'analogie avec l'anneau des réels semble fondée.
- L'emboîtement et la superposition du traitement : nous avons répondu à cette difficulté en superposant sur un même graphe les différentes analyses. Ceci nous a permis d'en extraire les faisceaux de synchronisation.
- Discrétisation de l'information : en nous servant des vecteurs comme d'un échafaudage, et en ne prenant en compte que les seuls points d'intersection, en quelque sorte à l'image de ce qui se passe à l'intersection d'un ensemble de neurones, nous sommes entrés dans un processus similaire en partie à ceux que l'on retrouve dans les radio-cristallographies des protéines.

Extrapoler et poursuivre vers les mécanismes de la cognition est une aventure spéculative qui peut nous faire avancer de quelques étapes. Cependant, et l'on s'en rend vite compte, la tâche est colossale. Le domaine des nombres est infini, les formes que nous inventorions sont elles aussi infinies. Quant à l'outil mathématique classique, il se révèle incomplet pour cerner l'ensemble des possibilités. Il nous faudrait une super-fonction de Fourier, et la démarche actuelle vers les corrélations par ondelettes et les fonctions de Gabor vont dans ce sens. En ce qui concerne les chryzodes, tout reste à faire, si l'on fait omission des pistes que nous ont laissées Fermat, Pascal, Gauss et Poincaré.

L'apport des chryzodes rend vraisemblable et envisageable de nouvelles hypothèses. Par exemple lors d'une analyse cognitive, le système met en place des sortes d'aiguilles, d'axes, ou de réseaux d'axes qui prennent leur origine dans les synchronisations issues de la superposition des différents niveaux de traitement d'une information. Ceci peut l'être autant par un effet excitateur des extrémités axonales que par un effet inhibiteur. Les faisceaux peuvent être isolés et fugaces comme dans le cas d'une petite excitation sensorielle ou plus intense, plus dense, comme dans le cas d'une concentration ou d'une méditation philosophique.

Ce qui compte pour nous, c'est que ces vecteurs, un peu comme des chemins, des traits de mémoire, des "tubes" provenant des synchronisations entre les différentes couches opérant une analyse, puissent être utilisés instantanément ou ultérieurement (sommeil paradoxal) dans un ensemble architectural plus vaste. Nous aurions alors une sorte de gestion des "patterns", dans le sens défini par Jung, des moules, en quelque sorte un vocabulaire et une grammaire de la cognition.

La difficulté est que, dans ce genre d'investigation, il est assez difficile de passer directement à l'expérimentation à cause d'aspects liés à la déontologie. Plus la faculté que nous souhaitons comprendre est élevée dans l'échelle des perceptions, plus il nous faut nous diriger vers les analystes, les philosophes, les visionnaires afin de décrypter leurs expériences à la lumière de notre foi investigatrice. En effet, les expériences à court terme sont difficilement envisageables et les recherches longues et pas toujours évidentes. Par exemple, avant d'obtenir un chryzode ressemblant au Rubisco, il nous a fallu analyser le processus mis en place dans une radio-cristallographie pour y constater que l'appareillage produisait une inversion homologique. D'un autre côté, alors qu'un biologiste nous conseillait de présenter les images issues des chryzodes à des déficients mentaux légers afin d'étudier leur réactions, certains mathématiciens en place élevèrent un tollé quand nous leur avons soumis cette proposition d'expérimentation. Il nous a paru alors utile d'éviter une démarche conflictuelle.

En progressant dans notre recherche sur les chryzodes nous avons trouvé de multiples pistes, les corrélations avec les faisceaux de synchronisation n'est que celle qui nous semble la plus consistante. D'autres voies sont à même de nous laisser quelques chances d'avancer un peu. Nous présentons dans l'appendice celles qui nous semblent les plus prometteuses. Un travail immense reste à faire. Et bien que les chryzodes semblent en ce moment soulever plus de questions qu'ils n'en résolvent, ils ont au moins l'avantage de nous offrir des sens nouveaux pour ce qui nous avait apparu jusqu'alors être un labyrinthe de complexité.

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D-9- Un peu d'épistémologie

Retenons donc, les chryzodes permettent d'explorer toutes les fonctions opérant sur les nombres entiers et par approximation sur les réels. Qu'il s'agisse des décimales d'une fraction périodique ou d'une équation compliquée, ils mettent toujours en relief des propriétés que cache l'abrupte austérité d'un formalisme intégro-différentiel. C'est une nouvelle façon de représenter certains objets mathématiques, tels des réseaux de lignes ou de points, de visualiser des abstractions logiques, de manipuler une sorte d'alphabet des figures.

Vue la richesse des résultats esthétiques et rationnels obtenus, le système paraît se situer à un carrefour épistémologique et semble capable de générer un ensemble de sens possibles. Ceux-ci peuvent alimenter l'imagination et la créativité de tous, tant dans le domaine de la recherche que dans le domaine de l'expérimentation et celui en pleine expansion de la modélisation. Notons, tout d'abord, qu'à partir d'un mécanisme arithmético-géométrique simple on obtient de l'harmonie, de l'organisation, mais ni désordre, ni hasard. Les chryzodes permettent d'aborder l'arithmétique sous un angle nouveau, particulièrement le nombre dans ses opérations simples, dans le domaine des congruences ou des suites.

Un autre aspect important parait être l'utilisation du référentiel circulaire qui permet d'envisager une géométrie des chryzodes en complément de la géométrie analytique, en particulier quand il s'agit de rendre compte d'un processus ou d'une transformation. Au premier coup d'oeil, on comprend la puissance de représentation du modèle: l'économie dans l'information contenue. L'analogie avec l'idéal des mathématiques grecques dans sa recherche d'alliance entre beauté et proportion est ici indéniable. Achevons l'aspect mathématique du modèle en le reconnaissant comme appartenant à la nouvelle branche inaugurée notamment par Poincaré, Julia, Thom ou Moulin, et concernant le chaos, le désordre, les catastrophes, les fractals, les relateurs arithmétiques. Cette conception se rapproche incontestablement d'une nouvelle épistémologie avec la considération de la réalité comme un possible "construit" plutôt au lieu d'un "donné" reflétant une réalité immuable. La création de modèles est un des outils importants de ce mouvement et le système des chryzodes semble être en mesure de favoriser des simulations quand il s'agit de phénomènes de nature périodique ou ondulatoire.
En ce qui concerne la création de formes, on peut penser à un apport important à la morphogenèse, la compréhension de processus, la représentation de champs d'ondes.

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D-a-1- Epicycloïdes et hypocycloïdes

Définition
"un point m marqué sur un cercle mobile c de rayon r (cercle générateur) qui roule sans glisser sur un cercle fixe de rayon r (directrice) décrit une courbe l. l est appelée épicycloïde quand le contact est extérieur et hypocycloïde quand le contact est intérieur.

Si le rapport R/r est une fraction qui sous sa forme irréductible est de la forme p/q (q différent de 1), alors l'épicycloïde est aussi une courbe algébrique et se compose de p branches égales."

Historique

"les astronomes de la grèce antique expliquaient les mouvements rétrogrades des planètes en leur conférant un mouvement uniforme suivant une circonférence (épicycle) dont le centre se déplace sur une autre circonférence. la propriété selon laquelle le point d'une circonférence roulant intérieurement sur une circonférence immobile de rayon deux fois plus grand décrit le diamètre de la circonférence immobile fut découverte indépendamment par nassir eddin (milieu xiiiè siècle) et nicolas copernic (début xviè siècle).
Mais l'étude systématique de l'épiycloïde et de l'hypocycloïde débute en 1525 avec les ouvrages théoriques d'Albrecht Dürer, recherches qui restèrent inconnues des mathématiciens.
Desargues puis La Hire, au milieu du XVIIè siècle, établirent de nombreuses propriétés importantes de ces courbes.
Dans ses "principes mathématiques de la philosophie naturelle" (1687), Newton généralisa les recherches de Huyghens sur le pendule cycloïdal et établit que dans un champ d'attraction sphérique, la courbe d'oscillations isochrones du pendule est l'épicycloïde.
La généralisation naturelle des cycloïdes, les épicycloïdes et les hypocycloïdes, n'ont cessé par la suite d'éveiller l'attention des chercheurs dont Leibnitz, Euler et Bernouilli."

Textes extraits de "aide mémoire de mathématiques supérieures", M Vygodsky, ed. de Moscou, 1973.

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D-a-2-Méthode de diffraction en rayonnement polychromatique

Il n'existe qu'une méthode de diffraction en rayonnement polychromatique et elle s'adresse exclusivement aux monocristaux: c'est la méthode de Laue. On emploie une anticathode de tungstène A excitée sous une tension de 50 à 80 kilovolts. On dispose ainsi d'un spectre continu compris entre 0,2 et 2 A. On obtient un faisceau approximativement parallèle au moyen de deux trous de quelques dixièmes de millimètres percés dans deux plaques de plomb montées aux extrémités d'un tube métallique. Le faisceau tombe sur le cristal et les taches de Laue se forment sur la surface sensible S. Les distances de A à D1 et de D1 à D2 sont de l'ordre de 4 ou 5 cm. Le cristal C est placé très près du diaphragme D2. La distance CO, de C à S varie de 2 à 10 cm.
Chaque tache caractérise une famille de plans réticulaires, sauf la tache centrale produite par le faisceau direct qui a traversé le cristal sans le diffracter.
S'il se trouve dans le spectre émis par l'anticathode une longueur d'onde qui vérifie la formule de Bragg, il existe un faisceau réfléchi sélectivement sous l'angle COT (T: tache de Laue).
(...)
La méthode de Laue ne fournit pas de renseignements sur les distances réticulaires mais uniquement sur les angles.

Pour montrer le caractère polychromatique des diagrammes de Laue, nous en avons réalisés en couleur avec l'artifice suivant.
Trois diagrammes d'un même cristal sont pris à des tensions différentes: l'un à 18 kilovolts sans filtre, le second à 35 kilovolts avec un filtre de 2 mm d'aluminium, le troisième à 55 kilovolts avec un filtre de 4 mm d'aluminium. On sélectionne ainsi trois gammes de longueur d'onde qui, si elles pouvaient être multipliées par 10 000, correspondraient respectivement aux régions rouge-orangé, jaune-vert et bleu-violet du spectre visible. Nous avons opéré artificiellement cette transposition en utilisant la synthèse trichrome : chacun des clichés est tiré dans une couleur convenable et leur superposition donne un diagramme dont les taches passent du rouge au violet quand le rayonnement qui les a produites passe de 18 à 55 kilovolts.

Textes extraits de: " principes de radio-cristallographie" de Jean Barraud, Masson ed., 1960, p 84 à 87.

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D-a-3- Détails d'une superposition de réseaux

Dans ce qui suit nous étudions deux cas de figure asymptotiques, soit :

1) Superposition de réseaux dans des modules multiples d'un même nombre.
2) Superposition de réseaux dans des modules de valeurs consécutives.

1) Superposition de réseaux dans des modules multiples d'un même nombre.

Dans l'exemple ci-dessous chaque couche illustre un nombre croissant d'éléments en interaction.

 
Dans un deuxième temps, substituons à chaque réseau de lignes son réseau de points d'interconnexion.

Bien que chaque couche semble isolément ne pas receler de structure particulière, nous observons sur un troisième graphe que la superposition des cinq réseaux de points fait déjà émerger un petit ensemble de faisceaux de synchronisation.

 

Celui-ci se trouve accentué en continuant le processus de quelques étapes.

2) Superposition de réseaux dans des modules de valeurs consécutives.

Avec un petit intervalle (ou pas) entre chaque nombre, les faisceaux harmoniques disparaissent laissant place à une cinématique de formes tourbillonnantes composées d'un enchevêtrement de moirages, courbes, cols, noeuds, foyers.

Multiplication par 3 dans les nombres 1000, 1001, etc. Si nous donnons une couleur différente à chaque nombre et que nous faisons tourner la palette des couleurs, nous observons facilement le mouvement des divers tourbillons. Les moirages (cols, courbes en couches, etc.) semblent correspondre aux partiels de l'onde (partiels = groupes de fréquences dont les valeurs se suivent ex 1001, 1002, 1003, etc.). Ex ci-contre : détails de la superposition des multiplications par 3 dans des cercles de 1000 à 1200 éléments.

On peut bien sûr exprimer d'autres puissances que celles de 2 ou 3. Varier le type d'opération et le type de fonction amène à découvrir une infinité de figures. Cette infinité des topologies réalisables et les niveaux cybernétiques qu'on y décèle aisément nécessiteraient une thèse à eux seuls. En fait, bien des aspects sont encore à résoudre. Résumons en disant que les chryzodes expriment graphiquement des propriétés arithmétiques qu'on peut étendre aux nombres réels par approximation.
Quant aux structures qui émergent des différentes superposition de réseaux, elles se retrouvent en physique dans de nombreux phénomènes de résonance, comme dans les structures issues des radio-cristallographies ou encore, nous en donnerons un exemple ci-dessous, dans les réfractions lumineuses produites par un miroir circulaire vibrant.

D-a-4 Miroir circulaire vibrant

Posons sur un support instable un large récipient circulaire réfléchissant et contenant un peu de liquide . Soit par exemple une grande casserole en aluminium avec un peu d'eau à l'intérieur et posée sur une table branlante. Eclairons ce récipient par un faisceau lumineux de telle façon que se réfléchisse au plafond d'une pièce obscure les réfractions lumineuses provenant de la casserole. Au repos, nous observons dans les reflets un simple miroitement comme il s'en produit à la surface d'une étendue d'eau.

Animons maintenant notre table, avec la casserole, d'un mouvement rythmique.   Nous observons alors au plafond de la pièce obscure, dans le dessin des reflets issus du récipient posé sur la table, une sorte de rosace de contour hypocycloïdique.

D-a-5-Superposition des couples d'inverses

A un niveau supérieur de représentation, au lieu de dessiner toute la transformation signifiée par un chryzode issue d'une série de puissances, nous pouvons identifier le processus par une simple ligne reliant le terme verse à son terme inverse sur un nouveau chryzode.
Pour l'exemple 6 vu précédemment et qui relate la transformation des puissances de 2 en puissances de 10 lorsqu'elles sont congrues au nombre 19, il suffit de relier le point 2 au point 10 sur une circonférence partagée en 19 points.
Il est alors avantageux de représenter sur ce même chryzode les autres couples verse-inverse du nombre 19, ce que l'on obtient aisément en calculant les puissances N-2 du nombre.

Pour 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18, etc., on a:   1 10 13 5 4 16 11 12 17 2 7 8 3 15 14 8  9 18  soit les couples verse-inverse:   2*10, 3*13, (4*5), (5*4), (6*16), etc.   Dans un nouveau chryzode, nous représentons donc ces différents couples au moyen de vecteurs reliant les termes de chaque couple.  Une étude plus exhaustive fait apparaître le chryzode modélisant les couples d'inverses comme une sorte de "carte d'identité" résumant un certain nombre de propriétés arithmétiques du nombre 19.

Toutefois, et très étonnamment, en construisant la superposition des couples d'inverses d'une assez grande séquence de modules consécutifs, nous constatons que la multitude des formes distinctes s'associe, s'emboîte, en une unique structure.   Voir ci-contre la superposition dans un même cercle des chryzodes identités des nombres de 5 à 50.

Disons, pour conclure, que ce type de nouvelle forme ressemble un peu à un coquillage dans les premières étapes de sa construction, mais que très rapidement cette forme s'estompe au profit d'une topologie non classifiée à ce jour.  Exemple ci-contre: nous avons superposé tous les vecteurs représentant les couples d'inverses des nombres 5 au nombre 236. Dans une tentative d'approche exhaustive du domaine, cette topologie apparaîtrait être comme un phare fondamental, sorte de squelette de champ informatif, de pivot central. Le poète y verrait peut-être une clef permettant l'accès à de nombreuses autres topologies, qu'à un certain degré on pourrait qualifier de computantes, tant sont étroites les interrelations à l'image des interrelations entre les différents niveaux de l'abstraction mathématique.

D-a-6 Comparaison entre la courbe de Helmoltz et le chryzode

Pour conclure, citons un intéressant parallèle entre la position et l'intensité des pics d'inflexion intérieurs de la superposition des polygones étoilés dans un chryzode (scindé en deux) et la courbe de consonance de Helmoltz. Cette dernière est établie à partir de la concordance harmonieuse entre un son DO et un autre son produit par une corde musicale montant de ce DO jusqu'au DO de l'octave supérieure.
   

Conclusion de l'annexe D

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